Repère Orthonormé | Géométrie Plane Seconde

Un repère est dit orthonormé quand :

• Ses axes sont orthogonaux (perpendiculaires)
• Les unités de longueur sont identiques sur les deux axes
• Il permet de repérer chaque point du plan par un couple de coordonnées (x, y)

Dans un repère orthonormé (O, I, J), tout point M du plan est associé à un unique couple de nombres (x, y) appelé coordonnées de M :

• x est l'abscisse de M (coordonnée sur l'axe horizontal)
• y est l'ordonnée de M (coordonnée sur l'axe vertical)

On note : M(x, y)

• L'origine O a pour coordonnées (0, 0)
• Le point I a pour coordonnées (1, 0)
• Le point J a pour coordonnées (0, 1)
• Un point sur l'axe des abscisses a pour coordonnées (x, 0)
• Un point sur l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0, y)

Dans un repère orthonormé, si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors la distance AB est :

Cette formule découle du théorème de Pythagore.

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :

Le repère orthonormé permet de :

• Calculer des distances entre points
• Démontrer que des points sont alignés
• Identifier des triangles particuliers
• Représenter graphiquement des fonctions

• 1 Cartographie et systèmes GPS
• 2 Dessin assisté par ordinateur (DAO)
• 3 Navigation et positionnement
• 4 Modélisation géométrique

Pour AB avec A(2, 1) et B(5, 3) :

Pour BC avec B(5, 3) et C(3, 6) :

Pour AC avec A(2, 1) et C(3, 6) :

Vérifions si \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) :

\( AB^2 = 13 \), \( BC^2 = 13 \), \( AC^2 = 26 \)

\( AB^2 + BC^2 = 13 + 13 = 26 = AC^2 \)

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Le milieu M du segment [AC] avec A(2, 1) et C(3, 6) a pour coordonnées :

Les coordonnées de M sont \( \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) \).

Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Calculons \(\overrightarrow{AB}\) : \(\overrightarrow{AB} = (5-2, 3-1) = (3, 2)\)

Soit D(x, y), alors \(\overrightarrow{DC} = (3-x, 6-y)\).

On veut \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), donc :

\( 3-x = 3 \) et \( 6-y = 2 \)

Ce qui donne : \( x = 0 \) et \( y = 4 \)

Les coordonnées de D sont (0, 4).

• Deux axes perpendiculaires
• Même unité de longueur sur les deux axes
• Origine commune aux deux axes
• Permet de repérer chaque point du plan

• Distance entre deux points : \( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)
• Coordonnées du milieu : \( I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) \)
• Coordonnées d'un vecteur : \( \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A) \)