Somme de vecteurs – Règle du parallélogramme | Exercices corrigés

Infographie & Exercices

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \)

Règle du parallélogramme

Somme de deux vecteurs

\( \vec{u} + \vec{v} \)

\( \text{Résultat : } \vec{w} \)

Construction du parallélogramme

\( ABCD \)

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \)

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Définition : La somme de deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) est le vecteur \( \vec{w} \) obtenu en appliquant la règle du parallélogramme.

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Règle du parallélogramme : Si \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) et \( \overrightarrow{AC} = \vec{v} \), alors \( \vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD} \) où ABCD est un parallélogramme.

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Commutativité : \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \)

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Conseil : Placer les deux vecteurs à partir d'un même point

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Attention : Le vecteur somme est la diagonale du parallélogramme

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Astuce : La somme est indépendante de l'ordre des vecteurs

Exercice 1

Soit \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) et \( \overrightarrow{AC} = \vec{v} \). Trouver \( \vec{u} + \vec{v} \).

Exercice 2

Soit \( \overrightarrow{EF} = \vec{a} \) et \( \overrightarrow{EG} = \vec{b} \). Calculer \( \vec{a} + \vec{b} \).

Exercice 3

Soit \( \overrightarrow{IJ} = \vec{p} \) et \( \overrightarrow{IK} = \vec{q} \). Trouver \( \vec{p} + \vec{q} \).

Exercice 4

Soit \( \overrightarrow{MN} = \vec{x} \) et \( \overrightarrow{MP} = \vec{y} \). Calculer \( \vec{x} + \vec{y} \).

Exercice 5

Soit \( \overrightarrow{RS} = \vec{m} \) et \( \overrightarrow{RT} = \vec{n} \). Trouver \( \vec{m} + \vec{n} \).

Exercice 6

Soit \( \overrightarrow{UV} = \vec{r} \) et \( \overrightarrow{UW} = \vec{s} \). Calculer \( \vec{r} + \vec{s} \).

Exercice 7

Soit \( \overrightarrow{OP} = \vec{i} \) et \( \overrightarrow{OQ} = \vec{j} \). Trouver \( \vec{i} + \vec{j} \).

Exercice 8

Soit \( \overrightarrow{GH} = \vec{k} \) et \( \overrightarrow{GI} = \vec{l} \). Calculer \( \vec{k} + \vec{l} \).

Exercice 9

Soit \( \overrightarrow{CD} = \vec{f} \) et \( \overrightarrow{CE} = \vec{g} \). Trouver \( \vec{f} + \vec{g} \).

Exercice 10

Soit \( \overrightarrow{KL} = \vec{t} \) et \( \overrightarrow{KM} = \vec{u} \). Calculer \( \vec{t} + \vec{u} \).

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Somme de \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) et \( \overrightarrow{AC} = \vec{v} \)

Règle du parallélogramme :

Si A, B et C sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \) où ABCD est un parallélogramme.

Méthode de construction :

Placer les deux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) à partir du même point A
Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme
Le vecteur somme est \( \overrightarrow{AD} \)

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) et \( \overrightarrow{AC} = \vec{v} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

Pour construire ABCD, on trace la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (AC) passant par B.

Leur intersection est le point D.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \)

Réponse finale :

\( \vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \)

• ABCD est un parallélogramme

• Les côtés opposés sont égaux et parallèles

2 Somme de \( \overrightarrow{EF} = \vec{a} \) et \( \overrightarrow{EG} = \vec{b} \)

Règle du parallélogramme :

Si E, F et G sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EH} \) où EFGH est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{EF} = \vec{a} \) et \( \overrightarrow{EG} = \vec{b} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{EF} \) et \( \overrightarrow{EG} \) à partir du même point E.

On construit le point H tel que EFGH soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EH} \)

Réponse finale :

\( \vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{EH} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EH} \)

• EFGH est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{FH} = \overrightarrow{EG} \) et \( \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{EF} \)

3 Somme de \( \overrightarrow{IJ} = \vec{p} \) et \( \overrightarrow{IK} = \vec{q} \)

Règle du parallélogramme :

Si I, J et K sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IL} \) où IJKL est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{IJ} = \vec{p} \) et \( \overrightarrow{IK} = \vec{q} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{IK} \) à partir du même point I.

On construit le point L tel que IJKL soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{p} + \vec{q} = \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IL} \)

Réponse finale :

\( \vec{p} + \vec{q} = \overrightarrow{IL} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IL} \)

• IJKL est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{JL} = \overrightarrow{IK} \) et \( \overrightarrow{KL} = \overrightarrow{IJ} \)

4 Somme de \( \overrightarrow{MN} = \vec{x} \) et \( \overrightarrow{MP} = \vec{y} \)

Règle du parallélogramme :

Si M, N et P sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ} \) où MNPQ est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{MN} = \vec{x} \) et \( \overrightarrow{MP} = \vec{y} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{MN} \) et \( \overrightarrow{MP} \) à partir du même point M.

On construit le point Q tel que MNPQ soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{x} + \vec{y} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ} \)

Réponse finale :

\( \vec{x} + \vec{y} = \overrightarrow{MQ} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MQ} \)

• MNPQ est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{MP} \) et \( \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MN} \)

5 Somme de \( \overrightarrow{RS} = \vec{m} \) et \( \overrightarrow{RT} = \vec{n} \)

Règle du parallélogramme :

Si R, S et T sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RU} \) où RSTU est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{RS} = \vec{m} \) et \( \overrightarrow{RT} = \vec{n} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{RS} \) et \( \overrightarrow{RT} \) à partir du même point R.

On construit le point U tel que RSTU soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{m} + \vec{n} = \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RU} \)

Réponse finale :

\( \vec{m} + \vec{n} = \overrightarrow{RU} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RU} \)

• RSTU est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{SU} = \overrightarrow{RT} \) et \( \overrightarrow{TU} = \overrightarrow{RS} \)

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Somme de \( \overrightarrow{UV} = \vec{r} \) et \( \overrightarrow{UW} = \vec{s} \)

Règle du parallélogramme :

Si U, V et W sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{UV} + \overrightarrow{UW} = \overrightarrow{UX} \) où UVWX est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{UV} = \vec{r} \) et \( \overrightarrow{UW} = \vec{s} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{UV} \) et \( \overrightarrow{UW} \) à partir du même point U.

On construit le point X tel que UVWX soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{r} + \vec{s} = \overrightarrow{UV} + \overrightarrow{UW} = \overrightarrow{UX} \)

Réponse finale :

\( \vec{r} + \vec{s} = \overrightarrow{UX} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{UV} + \overrightarrow{UW} = \overrightarrow{UX} \)

• UVWX est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{VX} = \overrightarrow{UW} \) et \( \overrightarrow{WX} = \overrightarrow{UV} \)

7 Somme de \( \overrightarrow{OP} = \vec{i} \) et \( \overrightarrow{OQ} = \vec{j} \)

Règle du parallélogramme :

Si O, P et Q sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OR} \) où OPQR est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{OP} = \vec{i} \) et \( \overrightarrow{OQ} = \vec{j} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{OP} \) et \( \overrightarrow{OQ} \) à partir du même point O.

On construit le point R tel que OPQR soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{i} + \vec{j} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OR} \)

Réponse finale :

\( \vec{i} + \vec{j} = \overrightarrow{OR} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OR} \)

• OPQR est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OQ} \) et \( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OP} \)

8 Somme de \( \overrightarrow{GH} = \vec{k} \) et \( \overrightarrow{GI} = \vec{l} \)

Règle du parallélogramme :

Si G, H et I sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{GJ} \) où GHIJ est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{GH} = \vec{k} \) et \( \overrightarrow{GI} = \vec{l} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{GH} \) et \( \overrightarrow{GI} \) à partir du même point G.

On construit le point J tel que GHIJ soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{k} + \vec{l} = \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{GJ} \)

Réponse finale :

\( \vec{k} + \vec{l} = \overrightarrow{GJ} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{GJ} \)

• GHIJ est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{HJ} = \overrightarrow{GI} \) et \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{GH} \)

9 Somme de \( \overrightarrow{CD} = \vec{f} \) et \( \overrightarrow{CE} = \vec{g} \)

Règle du parallélogramme :

Si C, D et E sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CF} \) où CDEF est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{CD} = \vec{f} \) et \( \overrightarrow{CE} = \vec{g} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{CD} \) et \( \overrightarrow{CE} \) à partir du même point C.

On construit le point F tel que CDEF soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{f} + \vec{g} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CF} \)

Réponse finale :

\( \vec{f} + \vec{g} = \overrightarrow{CF} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CF} \)

• CDEF est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{CE} \) et \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CD} \)

10 Somme de \( \overrightarrow{KL} = \vec{t} \) et \( \overrightarrow{KM} = \vec{u} \)

Règle du parallélogramme :

Si K, L et M sont trois points donnés, alors \( \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KN} \) où KLMN est un parallélogramme.

Étape 1 : Données

\( \overrightarrow{KL} = \vec{t} \) et \( \overrightarrow{KM} = \vec{u} \)

Étape 2 : Construction du parallélogramme

On place les vecteurs \( \overrightarrow{KL} \) et \( \overrightarrow{KM} \) à partir du même point K.

On construit le point N tel que KLMN soit un parallélogramme.

Étape 3 : Conclusion

\( \vec{t} + \vec{u} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KN} \)

Réponse finale :

\( \vec{t} + \vec{u} = \overrightarrow{KN} \)

Règles appliquées :

• Règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KN} \)

• KLMN est un parallélogramme

• \( \overrightarrow{LN} = \overrightarrow{KM} \) et \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{KL} \)

Somme de vecteurs – Règledu parallélogramme | Exercices

Somme de vecteurs – Règle
du parallélogramme | Exercices