Incertitude de lecture : Incertitude liée à la précision de l'appareil de mesure et à la capacité de lecture de l'opérateur.
- Identifier la graduation minimale de l'appareil
- Estimer l'incertitude de lecture (souvent demi-graduation)
- Prendre en compte les erreurs systématiques
Un double décimètre a généralement des graduations au mm (0,1 cm)
On peut lire avec une précision de ± 0,05 cm (demi-graduation)
Erreurs d'alignement, usure de l'appareil, etc.
On arrondit l'incertitude à 1 chiffre significatif
L = 12,5 ± 0,1 cm
• Incertitude de lecture ≈ demi-graduation
• Exprimer avec la même précision que la mesure
• Incertitude à 1 CS maximum
Incertitude relative : Rapport de l'incertitude absolue sur la valeur mesurée, souvent exprimée en pourcentage.
Valeur mesurée = 25,0 g
Incertitude absolue = 0,1 g
\(U_r = \frac{U(x)}{x}\)
\(U_r = \frac{0,1}{25,0} = 0,004\)
\(U_r(\%) = 0,004 \times 100 = 0,4\%\)
L'incertitude représente 0,4% de la valeur mesurée
Incertitude relative = 0,004 ou 0,4%
• Formule : \(U_r = \frac{U(x)}{x}\)
• Sans unité ou en pourcentage
• Indicateur de précision de la mesure
Propagation des incertitudes : Méthode pour déterminer l'incertitude d'une grandeur calculée à partir d'autres mesurées.
a = 10,0 ± 0,1 cm
b = 15,0 ± 0,2 cm
c = a + b
c = 10,0 + 15,0 = 25,0 cm
\(U_c = \sqrt{U_a^2 + U_b^2}\)
\(U_c = \sqrt{(0,1)^2 + (0,2)^2} = \sqrt{0,01 + 0,04} = \sqrt{0,05} ≈ 0,22\) cm
U_c ≈ 0,2 cm (1 chiffre significatif)
c = 25,0 ± 0,2 cm
• Addition/soustraction : \(U_c = \sqrt{U_a^2 + U_b^2}\)
• Somme quadratique des incertitudes
• Arrondir à 1 ou 2 CS
Propagation pour multiplication : On utilise les incertitudes relatives pour simplifier les calculs.
a = 5,0 ± 0,1 cm
b = 3,0 ± 0,1 cm
c = a × b
c = 5,0 × 3,0 = 15,0 cm²
\(\frac{U_a}{a} = \frac{0,1}{5,0} = 0,02\)
\(\frac{U_b}{b} = \frac{0,1}{3,0} ≈ 0,033\)
\(\frac{U_c}{c} = \sqrt{(\frac{U_a}{a})^2 + (\frac{U_b}{b})^2}\)
\(\frac{U_c}{c} = \sqrt{(0,02)^2 + (0,033)^2} = \sqrt{0,0004 + 0,0011} = \sqrt{0,0015} ≈ 0,039\)
U_c = 0,039 × 15,0 ≈ 0,59 cm²
U_c ≈ 0,6 cm² (1 CS)
c = 15,0 ± 0,6 cm²
• Multiplication/division : \(\frac{U_c}{c} = \sqrt{(\frac{U_a}{a})^2 + (\frac{U_b}{b})^2}\)
• Utiliser les incertitudes relatives pour simplifier
• Convertir ensuite en incertitude absolue
Division : Identique à la multiplication, on utilise les incertitudes relatives.
a = 20,0 ± 0,2 cm
b = 4,0 ± 0,1 cm
c = a/b
c = 20,0 ÷ 4,0 = 5,0
\(\frac{U_a}{a} = \frac{0,2}{20,0} = 0,01\)
\(\frac{U_b}{b} = \frac{0,1}{4,0} = 0,025\)
\(\frac{U_c}{c} = \sqrt{(\frac{U_a}{a})^2 + (\frac{U_b}{b})^2}\)
\(\frac{U_c}{c} = \sqrt{(0,01)^2 + (0,025)^2} = \sqrt{0,0001 + 0,000625} = \sqrt{0,000725} ≈ 0,027\)
U_c = 0,027 × 5,0 ≈ 0,135
U_c ≈ 0,1 (1 CS)
c = 5,0 ± 0,1
• Division suit la même formule que multiplication
• Grandeur sans unité dans ce cas
• Propagation quadratique des incertitudes relatives
Puissance : Pour c = a^n, l'incertitude relative est multipliée par n.
c = 5,00 ± 0,02 cm (3 CS)
Aire = c²
Aire = (5,00)² = 25,00 cm²
\(\frac{U_c}{c} = \frac{0,02}{5,00} = 0,004\)
\(\frac{U_{aire}}{Aire} = 2 \times \frac{U_c}{c} = 2 \times 0,004 = 0,008\)
U_{aire} = 0,008 × 25,00 = 0,20 cm²
Aire = 25,0 ± 0,2 cm²
• Pour c^n : \(\frac{U_{c^n}}{c^n} = n \times \frac{U_c}{c}\)
• Carré : multiplier incertitude relative par 2
• Respecter les CS dans le résultat
Moyenne et écart-type : Méthodes statistiques pour estimer la valeur vraie et l'incertitude.
Série : 10,2 ; 10,1 ; 10,3 ; 10,2 ; 10,1 cm (5 mesures)
\(\bar{x} = \frac{10,2 + 10,1 + 10,3 + 10,2 + 10,1}{5} = \frac{50,9}{5} = 10,18\) cm
\(\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\)
\(\sigma = \sqrt{\frac{(10,2-10,18)^2 + (10,1-10,18)^2 + (10,3-10,18)^2 + (10,2-10,18)^2 + (10,1-10,18)^2}{4}}\)
\(\sigma = \sqrt{\frac{0,0004 + 0,0064 + 0,0144 + 0,0004 + 0,0064}{4}} = \sqrt{\frac{0,028}{4}} = \sqrt{0,007} ≈ 0,08\) cm
\(u(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,08}{\sqrt{5}} ≈ \frac{0,08}{2,24} ≈ 0,036\) cm
\(\bar{x} = 10,2\) cm (1 décimale)
U = 0,04 cm (1 CS)
Mesure = 10,2 ± 0,04 cm
• Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
• Écart-type : \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\)
• Incertitude de la moyenne : \(u(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
Incertitude relative en % : Indicateur de la précision de la mesure exprimé en pourcentage.
Valeur mesurée = 15,0 cm
Incertitude absolue = 0,3 cm
\(U_r = \frac{U(x)}{x}\)
\(U_r = \frac{0,3}{15,0} = 0,02\)
\(U_r(\%) = 0,02 \times 100 = 2\%\)
L'incertitude représente 2% de la valeur mesurée
Une incertitude relative inférieure à 5% est généralement acceptable
Incertitude relative = 2%
• Formule : \(U_r(\%) = \frac{U(x)}{x} \times 100\)
• Indicateur de précision de la mesure
• Comparaison entre différentes mesures
Conversion de température : La conversion ne modifie pas l'incertitude absolue.
T(°C) = 25,0 ± 0,1 °C
T(K) = T(°C) + 273,15
T(K) = 25,0 + 273,15 = 298,15 K
L'incertitude absolue ne change pas dans une transformation affine
U(T) = 0,1 K
T = 298,2 ± 0,1 K
T = 298,2 ± 0,1 K
• Transformation affine : y = ax + b conserve l'incertitude absolue
• Conversion °C → K : T(K) = T(°C) + 273,15
• Incertitude conservée dans les transformations linéaires
Densité : ρ = m/V, calcul avec propagation des incertitudes.
m = 50,0 ± 0,2 g
V = 20,0 ± 0,1 cm³
ρ = m/V
ρ = 50,0 ÷ 20,0 = 2,50 g/cm³
\(\frac{U_m}{m} = \frac{0,2}{50,0} = 0,004\)
\(\frac{U_V}{V} = \frac{0,1}{20,0} = 0,005\)
\(\frac{U_ρ}{ρ} = \sqrt{(\frac{U_m}{m})^2 + (\frac{U_V}{V})^2}\)
\(\frac{U_ρ}{ρ} = \sqrt{(0,004)^2 + (0,005)^2} = \sqrt{0,000016 + 0,000025} = \sqrt{0,000041} ≈ 0,0064\)
U_ρ = 0,0064 × 2,50 ≈ 0,016 g/cm³
U_ρ ≈ 0,02 g/cm³ (1 CS)
ρ = 2,50 ± 0,02 g/cm³
• Densité : ρ = m/V
• Division : propagation quadratique des incertitudes relatives
• Unité : g/cm³ dans ce cas
