Physique-Chimie • Seconde

Demi-vie
Transformations nucléaires

Concepts & Exercices
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\)
Décroissance radioactive
Demi-vie (t₁/₂)
\(t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\)
Temps pour 50% de désintégration
Constante radioactive
\(\lambda\)
Vitesse de désintégration
Loi de décroissance
\(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\)
Nombre de noyaux restants
⏳
Demi-vie : Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent.
⚛️
Caractéristique : La demi-vie est une propriété intrinsèque de chaque isotope radioactif.
📊
Exponentielle : La décroissance radioactive suit une loi exponentielle.
🌍
Applications : Datation archéologique, médecine nucléaire, énergie nucléaire.
💡
Conseil : Toujours identifier les grandeurs connues et inconnues
🔍
Attention : Ne pas confondre activité et nombre de noyaux
⚡
Astuce : Utiliser la puissance de 1/2 pour simplifier les calculs
📋
Méthode : Établir l'équation de décroissance et résoudre
Exercice 1
Calculer la demi-vie du carbone-14 sachant que 50% se désintègre en 5730 ans
Exercice 2
Combien de noyaux restent après 2 demi-vies pour un échantillon de 1000 noyaux?
Exercice 3
Si 25% des noyaux restent, combien de demi-vies se sont écoulées?
Exercice 4
Calculer la demi-vie du cobalt-60 si 75% se désintègre en 10.6 ans
Exercice 5
Datation d'un échantillon avec 12.5% de carbone-14 restant
Exercice 6
Calculer le temps pour que 90% d'un échantillon se désintègre (t₁/₂ = 10 ans)
Exercice 7
Trouver la demi-vie si 87.5% se désintègre en 21 jours
Exercice 8
Activité d'un échantillon de 10 g de tritium (t₁/₂ = 12.3 ans)
Exercice 9
Combien de noyaux se désintègrent en 1 heure pour t₁/₂ = 30 min?
Exercice 10
Datation de bois ancien avec 6.25% de carbone-14 restant
Corrigé : Exercices 1 à 5
1 Demi-vie du carbone-14
Définition :

Demi-vie (t₁/₂) : Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent.

100%
Noyaux initiaux
→
50%
Restants
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\)
Données de l'exercice :

• 50% des noyaux se désintègrent en 5730 ans

• Cela signifie que N(t)/N₀ = 0.5

• t = 5730 ans

Étape 1 : Comprendre la définition

Par définition, la demi-vie est le temps pour que 50% des noyaux se désintègrent

Donc N(t)/N₀ = 0.5

Étape 2 : Identifier les données

N(t)/N₀ = 0.5

t = 5730 ans

On cherche t₁/₂

Étape 3 : Appliquer la loi de décroissance

0.5 = (1/2)^(5730/t₁/₂)

(1/2)¹ = (1/2)^(5730/t₁/₂)

Étape 4 : Résoudre l'équation

1 = 5730/t₁/₂

t₁/₂ = 5730 ans

Réponse finale :

La demi-vie du carbone-14 est de 5730 ans.

C'est une constante caractéristique de cet isotope.

Règles appliquées :

• Définition de la demi-vie : Temps pour 50% de désintégration

• Loi exponentielle : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Constante : La demi-vie est indépendante de la quantité initiale

2 Noyaux restants après 2 demi-vies
Définition :

Décroissance radioactive : Diminution exponentielle du nombre de noyaux radioactifs au cours du temps.

1000 noyaux
Initialement
→
250 noyaux
Après 2 demi-vies
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\)
Données de l'exercice :

• N₀ = 1000 noyaux

• n = 2 demi-vies

• On cherche N(t)

Étape 1 : Identifier les données

N₀ = 1000 noyaux

Nombre de demi-vies écoulées = 2

Étape 2 : Appliquer la formule

N(t) = N₀ × (1/2)ⁿ

N(t) = 1000 × (1/2)²

N(t) = 1000 × (1/4)

N(t) = 250 noyaux

Étape 3 : Vérification pas à pas

Après 1 demi-vie : 1000 → 500 noyaux

Après 2 demi-vies : 500 → 250 noyaux

Étape 4 : Généralisation

Après n demi-vies : N(t) = N₀ × (1/2)ⁿ

Réponse finale :

Après 2 demi-vies, il reste 250 noyaux.

Cela correspond à 25% de la quantité initiale.

Règles appliquées :

• Formule : N(t) = N₀ × (1/2)ⁿ (n = nombre de demi-vies)

• Après 1 demi-vie : 50% restent

• Après 2 demi-vies : 25% restent

3 Nombre de demi-vies écoulées
Définition :

Nombre de demi-vies : Calcul du nombre de périodes de demi-vie écoulées connaissant le pourcentage restant.

100%
Initial
→
25%
Restant
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\)
Données de l'exercice :

• N(t)/N₀ = 0.25 (25%)

• On cherche n (nombre de demi-vies)

Étape 1 : Identifier les données

N(t)/N₀ = 0.25 = 1/4

On cherche n tel que (1/2)ⁿ = 1/4

Étape 2 : Établir l'équation

(1/2)ⁿ = 1/4

(1/2)ⁿ = (1/2)²

Étape 3 : Résoudre l'équation

n = 2

Étape 4 : Vérification

Après 2 demi-vies : (1/2)² = 1/4 = 25%

Donc 25% restent, ce qui correspond à l'énoncé

Réponse finale :

Il s'est écoulé 2 demi-vies.

Cela signifie que le temps écoulé est égal à 2 fois la demi-vie.

Règles appliquées :

• Formule : N(t)/N₀ = (1/2)ⁿ

• Équation : Égalité des exposants pour des bases identiques

• Vérification : Toujours valider le résultat

4 Demi-vie du cobalt-60
Définition :

Calcul de demi-vie : Détermination de la demi-vie à partir du pourcentage désintégré sur une période donnée.

100%
Initialement
→
25%
Restants
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\)
Données de l'exercice :

• 75% se désintègrent en 10.6 ans

• Donc 25% restent

• N(t)/N₀ = 0.25

• t = 10.6 ans

Étape 1 : Identifier les données

75% se sont désintégrés → 25% restent

N(t)/N₀ = 0.25

t = 10.6 ans

Étape 2 : Appliquer la loi de décroissance

0.25 = (1/2)^(10.6/t₁/₂)

(1/2)² = (1/2)^(10.6/t₁/₂)

Étape 3 : Résoudre l'équation

2 = 10.6/t₁/₂

t₁/₂ = 10.6/2 = 5.3 ans

Étape 4 : Vérification

Après 5.3 ans (1 demi-vie) : 50% restent

Après 10.6 ans (2 demi-vies) : 25% restent

Cela correspond à 75% de désintégration

Réponse finale :

La demi-vie du cobalt-60 est de 5.3 ans.

En effet, 75% de désintégration en 10.6 ans correspond à 2 demi-vies.

Règles appliquées :

• Loi exponentielle : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Logarithme : Utilisé pour résoudre les équations exponentielles

• Vérification : Toujours valider le résultat

5 Datation avec 12.5% de carbone-14
Définition :

Datation au carbone-14 : Méthode permettant de déterminer l'âge des objets organiques en mesurant la proportion de carbone-14 restant.

100%
Actuel dans l'organisme
→
12.5%
Mesuré dans l'échantillon
\(t = \frac{t_{1/2}}{\ln(2)} \cdot \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)\)
Données de l'exercice :

• 12.5% de ¹⁴C restant

• N(t)/N₀ = 0.125 = 1/8

• t₁/₂(carbone-14) = 5730 ans

Étape 1 : Identifier les données

12.5% de carbone-14 restant → N(t)/N₀ = 0.125 = 1/8

t₁/₂ = 5730 ans (carbone-14)

Étape 2 : Méthode rapide

12.5% = (1/2)³ → 3 demi-vies se sont écoulées

t = 3 × 5730 = 17190 ans

Étape 3 : Vérification avec la formule

N(t)/N₀ = (1/2)^(t/t₁/₂)

0.125 = (1/2)^(t/5730)

(1/2)³ = (1/2)^(t/5730)

3 = t/5730

t = 17190 ans

Étape 4 : Interprétation

L'échantillon a un âge de 17190 ans

Il a fallu 3 demi-vies pour que 87.5% du carbone-14 se désintègre

Réponse finale :

L'échantillon a un âge de 17190 ans.

Il a fallu 3 demi-vies (3 × 5730 ans) pour que 87.5% du carbone-14 se désintègre.

Règles appliquées :

• Loi de décroissance : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Datation : Mesure de l'âge des objets organiques

• Limite : Environ 50000 ans maximum

Corrigé : Exercices 6 à 10
6 Temps pour 90% de désintégration
Définition :

Calcul du temps de désintégration : Détermination du temps nécessaire pour qu'un pourcentage donné de noyaux se désintègre.

100%
Initialement
→
10%
Restants
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\)
Données de l'exercice :

• 90% se désintègrent → 10% restent

• N(t)/N₀ = 0.10

• t₁/₂ = 10 ans

• On cherche t

Étape 1 : Identifier les données

90% se désintègrent → 10% restent

N(t)/N₀ = 0.10

t₁/₂ = 10 ans

Étape 2 : Appliquer la loi de décroissance

0.10 = (1/2)^(t/10)

Étape 3 : Utiliser le logarithme

ln(0.10) = (t/10) × ln(1/2)

ln(0.10) = (t/10) × (-ln(2))

t = [ln(0.10) / (-ln(2))] × 10

Étape 4 : Calculer

ln(0.10) ≈ -2.303

ln(2) ≈ 0.693

t = (-2.303 / -0.693) × 10

t = 3.322 × 10 = 33.22 ans

Réponse finale :

Il faut environ 33.2 ans pour que 90% des noyaux se désintègrent.

Cela correspond à environ 3.3 demi-vies.

Règles appliquées :

• Loi exponentielle : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Logarithme népérien : Utilisé pour résoudre les équations exponentielles

• Calcul : ln(a) = ln(b) → a = b

7 Demi-vie si 87.5% se désintègre en 21 jours
Définition :

Calcul de demi-vie : Détermination de la demi-vie à partir du pourcentage désintégré sur une période donnée.

100%
Initialement
→
12.5%
Restants
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\)
Données de l'exercice :

• 87.5% se désintègrent en 21 jours

• Donc 12.5% restent

• N(t)/N₀ = 0.125 = 1/8

• t = 21 jours

Étape 1 : Identifier les données

87.5% se sont désintégrés → 12.5% restent

N(t)/N₀ = 0.125 = (1/2)³

t = 21 jours

Étape 2 : Établir l'équation

0.125 = (1/2)^(21/t₁/₂)

(1/2)³ = (1/2)^(21/t₁/₂)

Étape 3 : Résoudre l'équation

3 = 21/t₁/₂

t₁/₂ = 21/3 = 7 jours

Étape 4 : Vérification

Après 7 jours (1 demi-vie) : 50% restent

Après 14 jours (2 demi-vies) : 25% restent

Après 21 jours (3 demi-vies) : 12.5% restent

Donc 87.5% se sont désintégrés

Réponse finale :

La demi-vie est de 7 jours.

En effet, 87.5% de désintégration en 21 jours correspond à 3 demi-vies.

Règles appliquées :

• Loi exponentielle : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Égalité des exposants : Pour des bases identiques

• Vérification : Calculer le pourcentage restant après n demi-vies

8 Activité d'un échantillon de tritium
Définition :

Activité radioactive (A) : Nombre de désintégrations par seconde dans un échantillon radioactif.

\(A = \lambda \cdot N\)
Données de l'exercice :

• Masse de tritium : 10 g

• Demi-vie du tritium : t₁/₂ = 12.3 ans

• Masse molaire du tritium : 3 g/mol

• Nombre d'Avogadro : N_A = 6.02 × 10²³ mol⁻¹

Étape 1 : Calculer le nombre de noyaux

Masse de l'échantillon : 10 g

Masse molaire du tritium (³H) : 3 g/mol

Nombre de moles : n = 10/3 = 3.33 mol

Nombre de noyaux : N = 3.33 × 6.02 × 10²³ = 2.01 × 10²⁴ noyaux

Étape 2 : Calculer la constante radioactive

λ = ln(2)/t₁/₂ = 0.693/(12.3 × 365 × 24 × 3600)

λ = 0.693/(3.88 × 10⁸) = 1.79 × 10⁻⁹ s⁻¹

Étape 3 : Calculer l'activité

A = λ × N = 1.79 × 10⁻⁹ × 2.01 × 10²⁴

A = 3.60 × 10¹⁵ Bq (becquerels)

Étape 4 : Interprétation

3.60 × 10¹⁵ désintégrations par seconde

Très grande activité due à la grande quantité de noyaux

Réponse finale :

L'activité de l'échantillon est de 3.60 × 10¹⁵ Bq.

Cela correspond à 3.60 billions de désintégrations par seconde.

Règles appliquées :

• Activité : A = λ × N (nombre de désintégrations/s)

• Constante radioactive : λ = ln(2)/t₁/₂

• Unité SI : Becquerel (Bq = s⁻¹)

9 Noyaux désintégrés en 1 heure
Définition :

Calcul de désintégrations : Détermination du nombre de noyaux qui se désintègrent sur une période donnée.

\(\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\right]\)
Données de l'exercice :

• Demi-vie : t₁/₂ = 30 minutes

• Temps écoulé : t = 1 heure = 60 minutes

• On suppose N₀ = 1000 noyaux initialement

Étape 1 : Identifier les données

t₁/₂ = 30 min

t = 60 min = 1 heure

Donc t/t₁/₂ = 60/30 = 2

Étape 2 : Calculer le nombre restant

N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

N(t) = N₀ × (1/2)² = N₀ × (1/4)

Donc 25% restent

Étape 3 : Calculer le nombre désintégré

ΔN = N₀ - N(t) = N₀ - N₀/4 = (3/4)N₀

Donc 75% des noyaux se désintègrent

Étape 4 : Application numérique

Pour N₀ = 1000 noyaux :

N(t) = 1000 × (1/4) = 250 noyaux restants

ΔN = 1000 - 250 = 750 noyaux désintégrés

Réponse finale :

Dans une heure, 75% des noyaux se désintègrent.

Pour un échantillon de 1000 noyaux, cela fait 750 désintégrations.

Règles appliquées :

• Nombre désintégré : ΔN = N₀ - N(t)

• Loi exponentielle : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Calcul : Après 2 demi-vies, 75% se désintègrent

10 Datation de bois ancien
Définition :

Datation au carbone-14 : Méthode permettant de déterminer l'âge des objets organiques en mesurant la proportion de carbone-14 restant.

100%
Actuel dans l'organisme
→
6.25%
Mesuré dans le bois
\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\)
Données de l'exercice :

• 6.25% de ¹⁴C restant

• N(t)/N₀ = 0.0625 = 1/16

• t₁/₂(carbone-14) = 5730 ans

Étape 1 : Identifier les données

6.25% de carbone-14 restant → N(t)/N₀ = 0.0625 = 1/16

t₁/₂ = 5730 ans (carbone-14)

Étape 2 : Méthode rapide

6.25% = (1/2)⁴ → 4 demi-vies se sont écoulées

t = 4 × 5730 = 22920 ans

Étape 3 : Vérification avec la formule

N(t)/N₀ = (1/2)^(t/t₁/₂)

0.0625 = (1/2)^(t/5730)

(1/2)⁴ = (1/2)^(t/5730)

4 = t/5730

t = 22920 ans

Étape 4 : Interprétation

Le bois ancien a un âge de 22920 ans

Il a fallu 4 demi-vies pour que 93.75% du carbone-14 se désintègre

Réponse finale :

Le bois ancien a un âge de 22920 ans.

Il a fallu 4 demi-vies (4 × 5730 ans) pour que 93.75% du carbone-14 se désintègre.

Règles appliquées :

• Loi de décroissance : N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t₁/₂)

• Datation : Mesure de l'âge des objets organiques

• Limite : Environ 50000 ans maximum

Demi‑vie Transformations nucléaires