Loi d'Ohm : \(R = \frac{U}{I}\), relation fondamentale entre tension, intensité et résistance.
- Identifier les grandeurs connues : U (tension) et I (intensité)
- Appliquer la loi d'Ohm : R = U/I
- Effectuer le calcul numérique
- Exprimer le résultat avec l'unité correcte (Ohm)
- Vérifier les unités (V/A = Ω)
Tension : U = 12 V
Intensité : I = 3 A
\(R = \frac{U}{I}\)
\(R = \frac{12}{3}\)
\(R = 4\) Ω
V/A = Ω (Ohm), unité correcte
Un dipôle soumis à 12 V et traversé par 3 A a une résistance de 4 Ω
La résistance du dipôle est de 4 Ohms (Ω).
• Loi d'Ohm : R = U/I
• Unités : Tension (V), Intensité (A), Résistance (Ω)
• Proportionnalité : R augmente quand U augmente ou I diminue
Résistance équivalente en série : \(R_{equ} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n\)
Montage en série avec : R₁ = 5 Ω, R₂ = 3 Ω, R₃ = 7 Ω
\(R_{equ} = R_1 + R_2 + R_3\)
\(R_{equ} = 5 + 3 + 7 = 15\) Ω
Le circuit avec ces 3 résistances en série est équivalent à une seule résistance de 15 Ω
La résistance équivalente en série est toujours supérieure à la plus grande résistance du groupe
La résistance équivalente de ce montage en série est de 15 Ω.
• Série : R_equ = ΣR_i
• Caractéristique : R_equ > max(R_i)
• Effet : Plus de résistance = moins de courant
Résistance équivalente en dérivation : \(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\)
R₁ = 4 Ω, R₂ = 6 Ω, R₃ = 12 Ω en dérivation
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\)
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\)
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
\(R_{equ} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\) Ω
La résistance équivalente en dérivation est toujours inférieure à la plus petite résistance du groupe
La résistance équivalente de ce montage en dérivation est de 2 Ω.
• Dérivation : 1/R_equ = Σ(1/R_i)
• Caractéristique : R_equ < min(R_i)
• Effet : Moins de résistance = plus de courant
Circuit mixte : Montage combinant des portions en série et en dérivation.
R₁ = 4 Ω en série avec (R₂ = 6 Ω et R₃ = 3 Ω en dérivation)
\(\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
Donc \(R_{23} = 2\) Ω
R_total = R₁ + R₂₃ = 4 + 2 = 6 Ω
Identifier les groupes en série et en dérivation
Calculer les résistances équivalentes des sous-groupes
Recomposer le circuit simplifié
On peut maintenant appliquer la loi d'Ohm au circuit équivalent
La résistance équivalente totale du circuit mixte est de 6 Ω.
• Résistance dérivation : 1/R_equ = Σ(1/R_i)
• Série : R_equ = ΣR_i
• Méthodologie : Simplifier étape par étape
Montage série vs dérivation : Deux configurations fondamentales des circuits électriques.
Soit 3 résistances de 6 Ω chacune
\(R_{equ} = 6 + 6 + 6 = 18\) Ω
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
Donc \(R_{equ} = 2\) Ω
Montage série : R_equ = 18 Ω (résistance plus élevée)
Montage dérivation : R_equ = 2 Ω (résistance plus faible)
En série : moins de courant pour la même tension
En dérivation : plus de courant pour la même tension
Le montage en série donne une résistance équivalente plus élevée que le montage en dérivation.
• Série : R_equ = ΣR_i
• Dérivation : 1/R_equ = Σ(1/R_i)
• Comparaison : R_série > R_dérivation pour les mêmes résistances
Caractéristique U=f(I) : La résistance est la pente de la droite U=f(I) pour un conducteur ohmique.
Point A : (I₁, U₁) = (0.2 A, 1 V)
Point B : (I₂, U₂) = (0.6 A, 3 V)
\(R = \frac{\Delta U}{\Delta I} = \frac{U_2 - U_1}{I_2 - I_1}\)
\(R = \frac{3 - 1}{0.6 - 0.2} = \frac{2}{0.4} = 5\) Ω
Pour le point A : R = U₁/I₁ = 1/0.2 = 5 Ω
Pour le point B : R = U₂/I₂ = 3/0.6 = 5 Ω
La droite passe par l'origine (0,0) pour un conducteur ohmique
La pente est constante et égale à la résistance
La pente du graphique U=f(I) représente la résistance du dipôle
La résistance du dipôle est de 5 Ω, égale à la pente de la droite U=f(I).
• Pente : R = ΔU/ΔI
• Unités : V/A = Ω
• Vérification : La droite doit être linéaire et passer par l'origine
Formule générale pour n résistances en dérivation : \(\frac{1}{R_{equ}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}\)
R₁ = 2 Ω, R₂ = 4 Ω, R₃ = 4 Ω en dérivation
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\)
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{R_{equ}} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
\(R_{equ} = \frac{1}{1} = 1\) Ω
La résistance équivalente (1 Ω) est bien inférieure à la plus petite résistance (2 Ω)
La résistance équivalente des 3 résistances en dérivation est de 1 Ω.
• Dérivation : 1/R_equ = Σ(1/R_i)
• Caractéristique : R_equ < min(R_i)
• Vérification : Toujours inférieure à la plus petite résistance
Circuit complexe : Montage avec plusieurs associations en série et en dérivation.
R₁ = 6 Ω en série avec (R₂ = 4 Ω en parallèle avec (R₃ = 3 Ω et R₄ = 6 Ω en série))
\(R_{34} = R_3 + R_4 = 3 + 6 = 9\) Ω
\(\frac{1}{R_{234}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_{34}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{13}{36}\)
Donc \(R_{234} = \frac{36}{13} \approx 2.77\) Ω
\(R_{total} = R_1 + R_{234} = 6 + \frac{36}{13} = \frac{78}{13} + \frac{36}{13} = \frac{114}{13} \approx 8.77\) Ω
Identifier les associations simples
Réduire progressivement le circuit
Appliquer les formules appropriées
La résistance équivalente du circuit complexe est d'environ 8.77 Ω.
• Série : R_equ = ΣR_i
• Dérivation : 1/R_equ = Σ(1/R_i)
• Méthode : Simplifier par étapes successives
Formules de puissance : \(P = U \times I\), \(P = R \times I^2\), \(P = \frac{U^2}{R}\)
Puissance dissipée : P = 18 W
Tension aux bornes : U = 12 V
\(P = \frac{U^2}{R}\)
\(R = \frac{U^2}{P}\)
\(R = \frac{12^2}{18} = \frac{144}{18} = 8\) Ω
Calcul de l'intensité : I = U/R = 12/8 = 1.5 A
Vérification de la puissance : P = U×I = 12×1.5 = 18 W ✓
La résistance du dipôle est de 8 Ω.
• Puissance : P = U²/R
• Isolation : R = U²/P
• Vérification : P = U×I
Effet de la température : \(R(T) = R_0 [1 + α(T - T_0)]\)
\(R(T) = R_0 [1 + α(T - T_0)]\)
Où R₀ est la résistance à la température de référence T₀
α est le coefficient de température
R₀ = 10 Ω (à T₀ = 20°C)
α = 0.004 /°C (pour le cuivre)
T = 50°C
ΔT = T - T₀ = 50 - 20 = 30°C
\(R(50°C) = 10 [1 + 0.004 × 30]\)
\(R(50°C) = 10 [1 + 0.12] = 10 × 1.12 = 11.2\) Ω
La résistance augmente de 12% avec la température
Cela affecte l'application de la loi d'Ohm
La résistance à 50°C est de 11.2 Ω, soit une augmentation de 12% par rapport à 20°C.
• Variation : R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
• Effet : R augmente avec la température pour les métaux
• Conséquence : La loi d'Ohm n'est plus exacte avec R variable
