Formule de variation : \(R(T) = R_0 [1 + α(T - T_0)]\)
- Identifier les grandeurs connues : R₀, α, T₀, T
- Appliquer la formule de variation de la résistance
- Effectuer le calcul numérique
- Exprimer le résultat avec l'unité correcte
- Interpréter la variation
Résistance à 20°C : R₀ = 10 Ω
Coefficient thermique du cuivre : α = 0.004 /°C
Température de référence : T₀ = 20°C
Température finale : T = 50°C
\(R(T) = R_0 [1 + α(T - T_0)]\)
\(R(50) = 10 [1 + 0.004(50 - 20)]\)
ΔT = T - T₀ = 50 - 20 = 30°C
\(R(50) = 10 [1 + 0.004 × 30]\)
\(R(50) = 10 [1 + 0.12]\)
\(R(50) = 10 × 1.12 = 11.2\) Ω
La résistance du fil de cuivre augmente de 12% entre 20°C et 50°C
La résistance du fil de cuivre à 50°C est de 11.2 Ω.
• Formule : R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
• Coefficient : α = 0.004 /°C pour le cuivre
• Variation : R augmente avec T pour les métaux
Formule inverse : \(T = T_0 + \frac{1}{α}\left(\frac{R(T)}{R_0} - 1\right)\)
Résistance à la température inconnue : R(T) = 15 Ω
Résistance à 20°C : R₀ = 10 Ω
Coefficient thermique : α = 0.004 /°C
Température de référence : T₀ = 20°C
\(R(T) = R_0 [1 + α(T - T_0)]\)
\(\frac{R(T)}{R_0} = 1 + α(T - T_0)\)
\(\frac{R(T)}{R_0} - 1 = α(T - T_0)\)
\(T - T_0 = \frac{1}{α}\left(\frac{R(T)}{R_0} - 1\right)\)
\(T = T_0 + \frac{1}{α}\left(\frac{R(T)}{R_0} - 1\right)\)
\(T = 20 + \frac{1}{0.004}\left(\frac{15}{10} - 1\right)\)
\(T = 20 + 250(1.5 - 1)\)
\(T = 20 + 250 × 0.5 = 20 + 125 = 145\) °C
\(R(145) = 10[1 + 0.004(145-20)] = 10[1 + 0.004×125] = 10[1 + 0.5] = 15\) Ω ✓
La température du conducteur est de 145°C.
• Formule inverse : T = T₀ + (1/α)[R(T)/R₀ - 1]
• Isolation : Manipulation algébrique de l'équation
• Vérification : Remplacer la valeur trouvée dans la formule originale
Lampe à incandescence : Filament qui chauffe à très haute température pour émettre de la lumière.
À température ambiante (environ 20°C), le filament a une résistance relativement faible
Exemple : R_froid = 10 Ω
Lorsque la lampe est allumée, le filament atteint environ 2500°C
La résistance augmente considérablement
Pour le tungstène : α ≈ 0.0045 /°C
\(R_{chaud} = R_{froid}[1 + α(T_{chaud} - T_{froid})]\)
\(R_{chaud} = 10[1 + 0.0045(2500 - 20)]\)
\(R_{chaud} = 10[1 + 0.0045 × 2480]\)
\(R_{chaud} = 10[1 + 11.16] = 10 × 12.16 = 121.6\) Ω
À l'allumage, le courant est élevé car R est faible
Une fois chaud, le courant diminue car R augmente
Les lampes à incandescence sont fragiles à l'allumage
Le pic de courant peut causer des défaillances
La résistance d'une lampe à incandescence augmente fortement avec la température, passant de 10 Ω à froid à environ 122 Ω à chaud.
• Effet thermique : R augmente avec T pour les métaux
• Valeur α : 0.0045 /°C pour le tungstène
• Conséquence : Pic de courant à l'allumage
Effet de la température : La résistance d'un conducteur varie avec sa température selon R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)].
Résistance à 20°C (température ambiante) : R₂₀ = 5 Ω
Coefficient thermique du matériau : α = 0.0038 /°C
Température de fonctionnement : T = 100°C
\(R_{100} = R_{20}[1 + α(T - T_0)]\)
\(R_{100} = 5[1 + 0.0038(100 - 20)]\)
\(R_{100} = 5[1 + 0.0038 × 80]\)
\(R_{100} = 5[1 + 0.304] = 5 × 1.304 = 6.52\) Ω
\(\text{Variation (\%)} = \frac{R_{100} - R_{20}}{R_{20}} × 100\)
\(\text{Variation (\%)} = \frac{6.52 - 5}{5} × 100 = \frac{1.52}{5} × 100 = 30.4\%\)
La résistance augmente de 30.4% lorsque la température passe de 20°C à 100°C
Si la tension reste constante, le courant diminue avec la température
Si le courant est imposé, la tension augmente avec la température
La résistance passe de 5 Ω à froid à 6.52 Ω à chaud, soit une augmentation de 30.4%.
• Formule : R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
• Variation : R augmente avec T
• Pourcentage : (R_final - R_initial)/R_initial × 100
Effet thermique : La résistance varie linéairement avec la température selon R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)].
Résistance à 0°C : R₀ = 20 Ω
Coefficient thermique : α = 0.004 /°C
Intervalle de température : de 0°C à 80°C
\(R_{80} = R_0[1 + α(T - T_0)]\)
\(R_{80} = 20[1 + 0.004(80 - 0)]\)
\(R_{80} = 20[1 + 0.004 × 80]\)
\(R_{80} = 20[1 + 0.32] = 20 × 1.32 = 26.4\) Ω
\(ΔR = R_{80} - R_0 = 26.4 - 20 = 6.4\) Ω
\(\text{Variation relative} = \frac{ΔR}{R_0} = \frac{6.4}{20} = 0.32 = 32\%\)
\(\text{Taux} = \frac{ΔR}{ΔT} = \frac{6.4}{80} = 0.08\) Ω/°C
Cela correspond à α × R₀ = 0.004 × 20 = 0.08 Ω/°C
La résistance varie de 6.4 Ω (32%) entre 0°C et 80°C, soit 0.08 Ω par degré Celsius.
• Variation absolue : ΔR = R_final - R_initial
• Variation relative : ΔR/R_initial
• Taux de variation : α × R₀
Effet Joule : Dissipation d'énergie électrique en chaleur dans un conducteur traversé par un courant.
Les électrons libres se déplacent dans le conducteur sous l'action du champ électrique
Ils entrent en collision avec les atomes du réseau cristallin
À chaque collision, les électrons cèdent de l'énergie cinétique aux atomes
Cette énergie est convertie en agitation thermique
\(P = U \times I = R \times I^2 = \frac{U^2}{R}\)
Où P est la puissance dissipée en watt (W)
L'augmentation de température due à l'effet Joule augmente la résistance
Cela crée un effet d'auto-chauffage
Effet souhaité dans les radiateurs électriques
Effet indésirable dans les lignes de transport électrique
Les conducteurs chauffent lors du passage du courant par effet Joule, qui convertit l'énergie électrique en chaleur par collision des électrons avec les atomes du matériau.
• Effet Joule : P = R × I²
• Mécanisme : Collisions électrons-atomes
• Conséquence : Augmentation de température et résistance
Caractéristique R=f(T) : Relation linéaire entre la résistance et la température pour la plupart des métaux.
\(R(T) = R_0 [1 + α(T - T_0)]\)
C'est une fonction affine de la température
À T = T₀, R(T₀) = R₀
Le point (T₀, R₀) appartient à la droite
\(R(T) = R_0 + R_0 \cdot α \cdot (T - T_0)\)
\(R(T) = R_0 \cdot α \cdot T + R_0(1 - αT_0)\)
La pente est R₀ · α
Soit R₀ = 10 Ω à T₀ = 20°C, α = 0.004 /°C
Points : (20, 10), (30, 10.4), (40, 10.8), (50, 11.2)
La droite est croissante (α > 0 pour les métaux)
La pente est positive et proportionnelle à R₀
La caractéristique R=f(T) est une droite croissante passant par le point (T₀, R₀) avec une pente égale à R₀·α.
• Forme : R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
• Graphique : Droite affine
• Pente : R₀ · α
Loi d'Ohm : U = R × I, valable à température constante.
La loi d'Ohm est strictement valable si la température reste constante
Elle suppose que la résistance R est constante
Si T varie, alors R varie selon R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
La relation U = R × I devient U = R(T) × I
Soit un circuit avec une tension constante U = 12 V
Si la température du conducteur augmente, R augmente
Donc I = U/R diminue
Les conducteurs ohmiques ne sont ohmiques qu'à température constante
Les variations thermiques affectent les mesures électriques
Les thermistances exploitent cette variation pour mesurer la température
Les résistances de précision sont maintenues à température constante
La loi d'Ohm n'est plus strictement applicable si la température varie, car la résistance devient fonction de la température.
• Condition : Température constante
• Conséquence : R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
• Application : Thermistances, mesures précises
Effets à basse température : Comportement spécial des conducteurs à très basse température.
À température ordinaire, R(T) = R₀[1 + α(T-T₀)]
Pour la plupart des métaux, α > 0, donc R diminue quand T diminue
À très basse température, les vibrations du réseau cristallin diminuent
Les collisions électrons-réseaux deviennent rares
La résistance tend vers une valeur limite R_res (résistance résiduelle)
Cette résistance est due aux défauts du cristal
À une température critique T_c, certains matériaux deviennent supraconducteurs
La résistance devient nulle (R = 0)
Supraconducteurs utilisés dans les aimants puissants
Technologies médicales (IRM), recherche scientifique
À très basse température, la résistance diminue mais tend vers une valeur résiduelle, et certains matériaux deviennent supraconducteurs.
• Standard : R diminue avec T
• Limite : Résistance résiduelle
• Spécial : Supraconductivité à T_c
Applications thermiques : Utilisation de l'effet de la température sur la résistance.
Composants dont la résistance diminue avec la température
Utilisées pour la mesure de température
Compensation thermique dans les circuits
Composants dont la résistance augmente avec la température
Protection contre les surintensités
Matériaux avec coefficient thermique faible
Maintenues à température constante
Utilisées dans les instruments de mesure
RTD (Resistance Temperature Detector) : platine
PTC/NTC pour détection et compensation
Chauffage électrique (radiateurs, plaques de cuisson)
Lampes à incandescence
Les effets thermiques sur la résistance sont utilisés dans les thermistances, capteurs de température, résistances de précision et appareils de chauffage.
• Capteurs : Thermistances CTN/CTP
• Mesure : RTD, compensation
• Applications : Chauffage, protection
